鸡爪定理逆定理(鸡爪定理逆定理证明内心)-东辰安华生活网

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　　下面来看看它的经典应用。

　　 1.四边形ABCD内接一个圆， BCD、 ACD、 Abd和 ABC的心分别是A’、B’、C’和D’。

　　证明ABCD 是长方形(1986年中国国家集训队选拔考试)

　　证明：如图所示，BDAC是从鸡爪定理得到的共圆，

　　那么 ca d=180- CBD ，

　　同理 ca b=180- CDB ，

　　那么 d a d=360- ca d- ca b=

　　 CBD CDB=(1/2)(CBA CDA)=90

　　同理，其他三个角也是直角，即ABCD 是长方形。

　　注：1)这个问题很老，很简单但也很经典。其实还有很多问题值得思考，比如它的逆命题是否成立，矩形什么时候变成正方形等等。

　　 2)如前所述，络心和内心是等价的，每个内性都有络心。如果引入四个三角形的圆心，这个图形会很壮观。其实这个题目是几何中一个定理的一部分，3354富尔曼定理。这个定理的内容是：圆上的四个点组成的四个三角形，它们的内、外心有16个点分布在八条直线上，每条直线上有四个点；八条直线是两组相互垂直的平行线，每组有四条直线。如下图所示，证明应该也是这样做的，这里不再赘述；

　　 2.欧拉-查普尔公式：(其中O和I是ABC震中和向心，R and R是圆O和圆I的半径)

　　证明很容易知道RtNBSRtADI，

　　 Get (ns/bs)=(ai/id)，

　　也就是ai * bs=2rr。

　　根据“鸡爪”定理，BS=IS，

　　 AI*IS=2Rr。

　　由圆幂公式得出：

　　结论由和成立。

　　注：1)此证为典型。需要对圆幂定理有敏锐准确的理解，合理运用鸡爪定理和相似性。值得反复品味，细细斟酌。

　　 2)逆命题也成立，即若圆O上任意一点D与圆I相切，圆O又与E、F相交，则EF与圆I相切，这是2009年东南竞赛题，大致证明如下：Di * IP=2RR，由欧拉-查普尔公式和圆幂定理，Di=(r/sin (d/2))，所以IP=2r sin(D/2)；而由正弦定理，EP=2r sin(d/2)；IP=EP。

　　 3)这个结论也是经典而深刻的，其特例在第四届IMO得到了检验。它描绘了内接三角形和外接三角形的中心距与两个圆的半径之间的关系。这个结论可以大大推广。例如，如果一个四边形与一个圆相切并内接于另一个圆，则称之为双心四边形，它具有类似的性质。此外，双心多边形还有许多复杂而神奇的性质，一般称为庞斯列闭定理。进一步，多边形可以推广到圆，这就是所谓的斯坦纳定理。此外，它还可以推广到索迪的空间六球定理(索迪是一位伟大的化学家，诺贝尔化学奖的获得者)。感兴趣的读者可以查阅相关资料。此外，这个定理不仅适用于圆，也适用于圆锥曲线。2009年江西高考和2012年浙江高考的解析几何压轴题分别是这个定理在椭圆和抛物线上的延伸。

　　 3.已知O，I，H为外，内，垂，oi//BC；

　　证明：AIIH(人大附中早教七年级学生任义海发现的结论)

　　证明：有类似于2中的 QBF ATI。

　　那么(FB/IT)=(QF/AI)=(2OF/AI)，

　　此外，着丝粒的性质是AH=2OM=2IJ=2TI。

　　因此，(OF/AI)=(FB/2IT)=(FB/AH)，

　　 OIFIHA

　　 AIIH

　　注：这个结论还是很漂亮的，证明欧拉定理几乎是抄袭的。当然也可以考虑它的逆命题。

　　 4.曼海姆定理：如图，与圆O内接的圆O 在D处，A是大圆O的任意一点，AB和AC分别是圆O的弦，分别在E和F处与圆O 外切，EF在I处与圆O 相交，从而证明I是ABC的心。

　　证明：用点对圆的幂来计算。延伸圆O在P的交点，设圆O and O的半径为R，R，则

　　因此，使用循环幂定理

　　即IP=2Rsin1=BP，那么我就可以通过鸡爪定理的逆定理被称为ABC的心脏。

　　注：1。)曼海姆定理也是一个复杂的系统，有很多种证明方法。图形也有许多有趣的属性，并且有许多主题

　　 2)红圈一般称为“伪内切圆”，包含丰富的性质。武文光华数学工作室的潘成华老师和田开斌老师对这一数字进行了深入的研究和挖掘，并发表了一系列文章。潘成华甚至被称为“伪圈(员)长”。

　　 3.曼海姆定理的另一个等价表述是：A是定圆I的不动点，圆I的移动切线在B和C处与A的圆I的切线相交，那么ABC外接圆O与某个定圆相切(或者ABC外接圆的包络是圆)，就是图中红色的伪圆。进一步说，圆O的轨迹是双曲线，其中有很多有趣的性质值得研究和推广。而且，很明显这个圆也可以是切圆。这里再一次强调了内心和络心的平等地位。

　　 5.已知I是ABC的心脏，M和N是BC和弧BAC的中点。

　　验证：IMB=INA

　　证明：如图，设MN与BC弧相交于F，则AIF共线

　　并且 fmb= fan=90度，

　　由鸡爪定理(fi ^ 2)=FM * fn(或由射影定理)，

　　因此 FMI fin，

　　 FMI=FIN，

　　因此IMB=INA。

　　 6.已知I为ABC心，m为AC中点，AIIW、

　　 CI，ABC，外接圆，w。

　　 ci:IW(2017年沙里金几何奥林匹克9年级)

　　解法：如图，将IW延伸到J使得WJ=WI