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前段时间有人问,球的体积计算公式是什么?
由于长期对各种搜索的依赖,再加上睡觉、玩剧、电竞等一系列新兴趣的发展,这些耳熟能详的公式早已被我遗忘。然后我拿起笔试着推导了一下,震惊的发现基本的微积分计算规则好像有点生疏了。
于是我开始了相关的探索。半天之后,我成功地不仅计算出了一个球的表面积,还计算出了一个球的体积。这个过程和微积分无关。那么没有微积分怎么算一个球呢?
Credit:蓝色1棕色
首先,微积分这个曲线计算的利器已经被抛弃了。我们的替代工具是:一点点相似三角形的知识,一点点空间想象,中国古代数学家智慧的结晶。
计算一个球的表面积!
众所周知,球表面积的公式是4r2,正好是同半径圆面积的4倍,令人深思。为什么正好是四次?圆形区域和球体区域之间有什么不可告人的秘密吗?顺着这个思路走下去,你可能会觉得完全的无助,无力,可怜,无助。
这是我最初的心路历程,直到我发现了另一个秘密:4r2正好是这个球体外接圆的外围面积。
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试想一下,如果把球的表面分成小块,向四周水平投影,按理说,扔出去的小块正好可以盖住外面的“圆柱体”。因为圆柱体的面积是周长乘以圆柱体的高度:2r*2r=4r2,与里面球的表面积重合!
如下图右上角所示,球上的小块投射到圆柱体上会变形,宽度可能会增大,而高度会相应减小。
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小片可以从抬头和低头两个方向观察。那我们就来看看,我们的小片段在投射过程中经历了哪些未知的变化。
先看俯视图:
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从中轴线向外投射,你一定发现投射越远,小块就会变得越宽。
所以纬度越高,也就是越靠近上下顶点的小块,扔在圆柱体上后宽度增加越多;赤道上的小块与圆柱体相连,所以宽度不会改变。
EF被拉伸成CD。
如果知道相似三角形的比例关系,因为AEF和ADC相似,这个增加的倍数就是r/d,也就是
CD/EF=r/d
对于球上的不同纬度,D会变化,而球的半径R不会变化。越靠近极点,D越小,r/d越大,小块的宽度增加越多,这与我们观察到的现象一致。
同样,你可以平视方向看情况:
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很明显,这个方向的投影会使小块的高度缩小,也就是黄色线段的长度会缩短。
因为球是胖乎乎的,离两极越近,越接近“平躺”,投射后越缩;然而在赤道上,小块是直立的,投影并不改变小块的高度。
投影后JH缩成EF。
显然 = = ,所以哈德和HIJ是相似的三角形。根据比例关系,我们知道:
EF/JH=d/r
也就是说平视投影会缩小小块的高度,缩小比例为D/R。
于是神奇的现象发生了。投影后,球上每个小块的形状确实发生了变化,宽度拉长了r/d倍,而高度缩小了d/r倍,这两个倍数相乘正好等于1。
结果就是小块投影前后的面积没有变化!仅用几个三角形,我们就很高兴地证明了一个球体的面积可以用一个外切圆柱体的面积来代替。
投影变化前后,小块的面积保持不变。
然后,计算一个球的表面积s ball=S cylinder=2r*2r=4r2。
祖庚原则
祖鲁原理也叫卡瓦列里原理(卡瓦列里原理),因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等面积原理,用于复杂几何中,但实际上祖宣的发现比他早1100年。
“力势同,品不能异”这句话出自祖宣。如果你对高中数学课本有印象,可能会记得这里的力是指体积,势是指高度。这意味着,如果每个截面的面积相同,高度相同的物体的体积也相同。
成祖原理的提出是为了解决牟和方盖体积的计算问题,从而计算出球的体积。但是现在比较常见的用法如下:3360
图中球体的体积等于圆柱体减去两个圆锥体的体积,因为每个截面的面积相等。有兴趣的朋友可以以半球为例,试着计算一下。
从上图中很容易发现,球在H高度的截面积是:*(r2-h2),而圆柱体减去圆锥体的截面积是:r2(圆柱截面)-h2(圆锥截面),两者正好相等。
所以,计算一个球的问题就变成了计算一个圆柱体和一个圆锥体的体积的问题。
计算一个球的体积!
知道了祖鲁的原理,我们就可以绕过微积分直接算球了!
根据祖鲁原理,半球的体积是经过我们巧妙的变换后,用圆柱体和圆锥体的体积来表示的。
众所周知,圆柱的体积是圆的面积和它的高度的乘积,V圆柱=r2*r=r3。还有圆锥体的体积,如果你不知道,你会发现V cone=r3/3,正好是圆柱体的三分之一。
好奇的宝宝可能会问,三分之一是怎么来的?既然你诚心问了,祖轩就慈悲为怀为你解答。
我们还是抓住前面的圆锥体(截面积为h2),然后去掉烦人的,截面积就变成h2了。因此
谁的截面积是用 h2表示呢?答:边长和高度都是 r 的四棱锥。
a. 除去 π 后,圆锥变成了四棱锥(平视图)
b. 四棱锥每一个横截面都是边长为 h 的正方形(斜视图)
这下好了,仅仅是做了个除法,问题似乎已经简单多了!
但你可能还是会问,四棱锥的体积又要怎么计算呢?别着急,我们先好好观察一下这个四棱锥。它的顶点在中心上方,感觉还是不够友好,怎么能再变换一下形状呢,没错,是时候祭出祖暅原理了。
把顶点移到一个角上,新的四棱锥有三条互相垂直的边,并且体积不变
到了这里,问题基本上已经解决了。什么,你还没看出来?调动你的空间想象力,调整一下角度,把这样的四棱锥放在正方体里似乎正合适,你能看出可以同时放进几个吗?
为了让你们相信是 3 个而精心 的 gif 动图
是3个!万事大吉~
正方体的体积显然是 r3,这样一来,四棱锥体积就是 r3/3。接着,对应圆锥的体积只需要乘上 π,V圆锥= r3/3*π。最后半球的体积 V半球= V圆柱- V圆锥= πr3-πr3/3 = 2/3 (πr3),所以 V球= 4/3 (πr3),是不是和书上写的公式一模一样呢!
成功算球!完结撒花~
作为一期数学类的硬核推送,小编想说的是,很多时候只要切换一下思路,尝试别的工具,就可能开辟出新的道路。
所谓的数学之光,我想也就是在这里。
参考资料
Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg
Ⅱ. https://b23.tv/av33120854
球的体积公式
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