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  哲学有什么用?《数学的本质》作者马克斯布莱克认为数学基础的主要任务(也是任何数学哲学的主要任务)是阐明和分析整数或自然数的概念。布莱克描述的任务真的那么难完成吗?真的很难!

  比如毕达哥拉斯派依靠几何符号来捍卫“迄今为止,一切都是根据数字形成的”这一观点。例如,对他们来说,四边形(由10个点组成的四条等边三角形线,排列成1、2、3、4,产生13个等边三角形,其中包含其他几何形状)是“生成”其他不那么“基本”的几何形状的来源。

  另一方面,欧几里德认为数字是几何空间的构成要素(他试图在他的名著《几何原理》中完整地描述它们)。其他古代哲学家如柏拉图和亚里士多德也提出了一些关于数学基础的观点。不幸的是,没有人在这个问题上得出任何最终结论。即使像笛卡尔、洛克、休谟和康德这样的现代哲学家也写了关于数学实体是什么的理论,但他们都没有阐述一个完全成功的理论。

  然后,在19世纪,分析出现了。在这一学科中,出现了诸如复数和极限概念的新思想,以帮助解决微分和积分方程的困难问题。根据Stewart和Stillwell的说法,需要这些新概念来计算以不同速度行驶的车辆行驶的总距离,船只在大海中的漂浮深度,或火箭的总燃料消耗。

  同样是在19世纪,在分析领域,有一个项目叫做分析数学。数学家们关注函数和数字的性质。不久之后,出现了三种最著名的当代数学哲学:逻辑主义、直觉主义和。

  根据伯特兰罗素在他1901年的出版物《数学原理》(最近关于数学原理的工作)中的陈述:

  数学可以定义为这样一门学科:我们永远不知道自己在说什么,也不知道自己说的是不是真的。

  这句话描述了20世纪初数学哲学的现状。然而,罗素并不满足于此。他在这个问题上写了20世纪最雄心勃勃的论文之一,—— 《数学原理》 (1910)。在这本书中,罗素和怀特海试图阐述一个可以描述数学所有元素的统一理论。可惜他们没有成功。罗素的逻辑主义对于庞加莱等其他数学家来说是不够的。1931年,哥德尔证明了罗素所假设的整个系统的不可靠性。

  结论从此以后,如果有人问数字是什么,全世界的数学家都无法提供一个共识。另外,在讨论数学本质的不确定性时,他们可能还会引用康德、洛克、笛卡尔、休谟、毕达哥拉斯、亚里士多德、罗素等哲学家的话。

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